Хотите выучить высшую математику, не поступая в университет? Советы и рекомендации начинающим квантам от практикующего количественного трейдера. Адаптированный перевод[1] статьи “How to Learn Advanced Mathematics Without Heading to University - Part 1” ресурса Quantstart.
(Продолжение, начало смотрите - часть 1)
Содержание:
- Введение. Первый год обучения
- Основы (Foundations)
- Реальный анализ - последовательности и ряды
- Линейная алгебра
- Обыкновенные дифференциальные уравнения
- Евклидова геометрия
- Алгебра / теория групп
- Вероятность
- Математическое программирование
- Что дальше?
- Примечания
- Список источников
- Используемые сокращения
- Post scriptum. Не прощаюсь
Изложение от первого лица.
Как отмечалось выше (часть 1), первый год обучения математике в бакалавриате связан с изменением мышления студента. “Механический подход”, присущий средней школе / A-Level[2], заменяется на университетскую методику “формальных систем”. Акцент на математический фундамент: множества, функции/преобразования[3], непрерывность и симметрия, а также на аксиомы/теоремы и доказательства.
Занятия первого года в значительной степени отражают этот переход. Особое внимание уделяется следующим темам:
- Количественные дисциплины (Quantity) - теория чисел, мощность множества (Cardinality).
- Структура - группы, линейная алгебра.
- Пространство/геометрия - тригонометрия, евклидова геометрия.
- Изменение - исчисление (Calculus) <бесконечно малых>[4], реальный <математический> анализ (Real analysis), Дифференциальные уравнения.
Список предметов первого года представлен в содержании. Развернутое изложение ниже.
Большинство ведущих курсов бакалавриата в Великобритании включают модуль “Основы” (Foundations). Его цель - подробный обзор сути университетской <высшей> математики: метод индукции и доказательство от противного, функции/карты[3], инъекция, сюръекция и биекция (injection, surjection and bijection)[5].
Понятия множества (set), операции (operation) и группы подготовят к более глубоким темам анализа, линейной алгебры и дифференциальных уравнений - значимой части программы бакалавриата первого года обучения.
Самостоятельное изучение математических основ может стать сложной задачей, многие впервые сталкиваются с концепцией доказательства. Поначалу процесс покажется запутанным, но ситуация выправится, как только вы втянитесь в предмет[6].
MOOCs: Introduction to Mathematical Thinking (“Введение в математическое мышление”) by Dr. Keith Devlin.
Реальный анализ - последовательности и ряды
Реальный <математический> анализ - базовый курс математики первого года бакалавриата. Чрезвычайно важен, особенно для квантов, поскольку формирует фундамент для стохастического исчисления и уравнений в частных производных. Тема касается, прежде всего, действительных чисел и их функций. Изучаются последовательности, ряды и их сходимость, пределы, исчисление <бесконечно малых>[7] и непрерывность.
Ключевое преимущество реального анализа состоит в том, что он обеспечивает “мягкий переход” от математики A-Level (средней школы) к ее высшим разделам. Он не только учит методике формирования доказательств, но и вводит такие абстрактные понятия, как “правильные” определения бесконечности и аксиомы (подобные аксиоме полноты), прививает навыки работы с непрерывными функциями и их производными.
YouTube/Free: Real Analysis: Lectures by Professor Francis Su.
Rusforexclub:
- Функция, приращение, производная, экстремум. Основы матанализа на фоне биржевых графиков;
- Анализ временных рядов. Руководство для начинающих;
- Временные ряды.
Линейная алгебра изучает линейные <преобразования/отображения> между векторными пространствами. Она подводит нас к тому, что в некоторых случаях линейные преобразования и матрицы фактически эквивалентны. Это заключение чрезвычайно полезно в работе с матричными уравнениями, широко применяемыми в количественных финансах и науке о данных.
Большинство методов статистического машинного обучения используют принципы линейной алгебры и исчисления, как и многие количественные финансовые теории, в том числе - ковариационная матрица и модель ценообразования капитальных активов.
MOOCs: MIT Open Courseware Video Lectures - Linear Algebra by Gilbert Strang.
Rusforexclub: Основы математики для алготрейдера, Версия Quantstart. Скаляры, векторы, матрицы и тензоры.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Предмет дифференциальных уравнений пронизывает количественные финансы. Он чрезвычайно важен для будущих количественных специалистов, поскольку стохастические дифференциальные уравнения играют ключевую роль в теории ценообразования опционов.
Дифференциальные уравнения объединяют функцию и ее производные разных порядков.
Изучение начинается с обыкновенных дифференциальных уравнений (английская аббревиатура ODE, русская ОДУ <в МИФИ 1980-х мы называли их “диффурами”> ). ОДУ - дифференциальное уравнение, в котором функция имеет одну независимую переменную. Например, ОДУ может связать скорость изменения населения с самой функцией населения.
Кванту нужно понимать основы ОДУ и способы их решения. Это совершенно необходимо для освоения в дальнейшем более сложных дифференциальных уравнений в частных производных (PDE) и стохастических дифференциальных уравнений (SDE), мощно применяемых в количественном анализе и торговле.
Некоторые ОДУ могут решаются аналитически, с использованием функций, заданных в аналитическом виде. На практике, решение подавляющего числа ОДУ записывается в виде ряда или интегральной зависимости. Тогда ОДУ можно “брать” численно, приближенными методами на компьютере. Большая часть количественных финансов включает в себя именно численное решение дифференциальных уравнений.
MOOCs: MIT Open CourseWare Video Lectures - Differential Equations by Arthur Mattuck.
Rusforexclub: Дифференциальные уравнения / Частные производные, модель Блэка-Шоулза и греки в опционах
.
Геометрия - одна из старейших фундаментальных веток математики. Основа математики поглубже, в том числе, связанной с количественными финансами. Обычно бакалавриат знакомит студентов с евклидовой геометрией на первом курсе.
Магистральное направление - евклидова геометрия в трех измерениях, что называется геометрия “повседневной жизни”, <планиметрия и стереометрия>.
<Евклидова геометрия - пролог к геометрии неевклидовой, известной как геометрия Лобачевского или сферическая геометрия (геометрия Римана).>
Кроме того, для квантов крайне важно хорошо ориентироваться в тригонометрии, еще одном разделе математики, берущим начало в классической евклидовой геометрии. Тригонометрия - базовая вещь в анализе Фурье, играющего ключевую роль в теории временных рядов, широко применяемых в исследовании торговых сигналов.
Группы - значительное алгебраическое явление в математике. Они подводят к изучению более сложных структур, таких как кольца, поля, векторные пространства и примыкают к идее математической симметрии.
Можно предположить, что группы относятся скорее к “чистой математике”, и менее задействованы на практике, но это не так. Группы используются в химии (кристаллизация, <вроде это физика?>), физике (симметрия и законы сохранения), а также в криптографии.
Полезны ли группы для количественному аналитика? Сложный вопрос. Пожалуй, напрямую, все-таки нет. На мой взгляд, при самообучении вполне достаточно познакомиться с предметом на вводном уровне и разобраться хотя бы в “групповой” терминологии, поскольку на нее могут ссылаться многие продвинутые количественные методы.
Что же может дать теория групп в квантовом трейдинге можно попытаться представить на примере одного из самых успешных квантовых хедж-фондов в истории - Renaissance Technologies. Он был основан Джимом Саймонсом, известным математиком, автором прорывных работ в области топологического многообразия, тесно связанного, как раз, с одним из разделов теории групп.
<По общему мнению, оглушительным успехом в количественных финансах фонд Дж. Саймонса обязан исключительно математическим достижениям своего учредителя и его сотрудников.>
Наряду с линейной алгеброй и реальным анализом (исчислением <бесконечно малых>), вводный курс теории вероятностей - ключевая дисциплина первого года обучения для квантов: количественных трейдеров, количественных аналитиков (оценка деривативов), риск-менеджеров и исследователей данных. Не могу не подчеркнуть, насколько важно для практикующего кванта иметь интуитивное понимание вероятностных концепций. Время, потраченное на их изучение, неминуемо принесет “интеллектуальные дивиденды” в будущей “квантовой карьере”.
Вводный раздел теории вероятностей для бакалавров начинается обычно с <понятий> и законов вероятности и включает теорему Байеса, распределение вероятностей, дискретные и непрерывные случайные величины, математическое ожидание и ковариацию. Абсолютно обязательные сведения для количественного аналитика.
Курсы теории вероятности естественным образом ведут к более продвинутым вещам - (классической) статистике, байесовской статистике, стохастическим процессам, стохастическому анализу, эконометрике и анализу временных рядов.
Rusforexclub:
- Основы теории вероятностей для инвестора. От понятия вероятности до нормального распределения;
- Корреляция в теории вероятностей и на финансовых рынках.
Математическое программирование
Что такое “математическое программирование (Mathematical Computing)”? В широком смысле - математический анализ с использованием компьютерных программ. Суть кванта! Критично необходимо, чтобы вы как можно раньше освоили алгоритмы программирования.
Казалось бы, раздел Mathematical Computing “лишний” в нашем перечне. Вполне достаточно профильных интернет-источников и учебников. Но я настаиваю, что “обучение программированию” и способность взять математический алгоритм и превратить его в эффективный компьютерный код - совершенно разные штуки.
Одно из ключевых преимуществ обладателя степени PhD по программированию состоит в том, что он умеет взять сложные алгоритмы из публикаций, в которых часто не учитываются важные детали, и адаптировать их в функционирующие части разрабатываемого программного обеспечения. Курсы бакалавриата по матпрограммированию - первая ступень в получении подобных навыков.
Чему вы реально сможете научиться? Обычно преподается смесь MATLAB, Mathematica, Maple, Python, Java или C++, а также алгоритмы попроще - базовое численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, символьные операции, поиск корней, оптимизация и т. д. Все это значимо для кванта.
Учебники:
- Hands-On Start to Wolfram Mathematica by Cliff Hastings, Kelvin Mischo, Michael Morrison;
- Matlab: A Practical Introduction to Programming and Problem Solving, by Stormy Attaway.
Rusforexclub: О самообразовании для тех, кто хочет стать количественным разработчиком.
Первый год бакалавриата посвящен знакомству студента с новыми идеями и формализации старых. Часто в университетском обучении возникает стрессовая ситуация “сделай или сломай” (make or break) и студенты бросают математику, уходя на факультеты физики, информатики или экономики.
У самоучки гораздо больше гибкости <и запаса прочности>. Модули могут адаптироваться к конкретной карьере или желанию учиться в качестве хобби. Будущий специалист по количественному анализу вправе выбрать курсы более соответствующие его потребностям и отбросить (по крайней мере, на время) второстепенные, на его взгляд предметы. В универе так нельзя. Учить и сдавать надо все.
В этом - известное преимущество любого самообразования. Сосредоточится на главном и отбросить несущественное.
перевод, обработка, комментарии и примечания
В основе изложения статья “How to Learn Advanced Mathematics Without Heading to University - Part 1, опубликованная на сайте Quantstart.
Источник изображения на заставке - Dut.edu.ua
Первоисточниками определений, терминов, понятий, явлений, вводимых по тексту, являются профильные статьи Википедии/Wikipedia, указанные в Списке источников к публикации (для переводов - возможны трактовки автора исходного материала), если не оговорено иное.
- Под адаптированным переводом понимается достаточно точное следование исходному материалу, с возможными отступлениями и пояснениями. Конкретные вещи - формулы, скрипты, графики и пр. (а также авторские комментарии к ним) изложены максимально близко к оригиналу (часто скопированы). Ответственность за их корректность и ясность интерпретации несет автор исходника.
- Британская система образования.
- В оригинале вместо близкого русскоязычному читателю “преобразование/отображение” использован термин “map”, “карта”. Смотрите источник 1.
- Записью <курсив> обозначены вставки и комментарии переводчика.
- Понятия инъекции, сюръекции и биекции в математике смотрите источник 4.
- В конце данного и последующих разделов автор дает ссылки на англоязычные учебные пособия. Не вижу смысла приводить их здесь (интересующиеся могут посмотреть в исходной статье), для отечественного читателя они будут играть второстепенную роль. Ему следует ориентироваться на учебники по математике на русском языке, качество которых совсем не хуже. Исключение составляет последний раздел о математическом программировании, видеокурсы, выложенные в свободном доступе и материалы ресурса Rusforexclub. Кстати, на видеоуроках вы сможете, помимо получения математических знаний, подтянуть свой устный профильный английский.
- В российских (советских) учебниках по высшей математике под “исчислением бесконечно малых” обычно понимают, прежде всего, дифференциальное и интегральное исчисление.
Список источников (Википедия/Wikipedia, если не оговорено иное):
- “Map (mathematics)”.
- “Мощность множества”.
- “Calculus”.
- “Биекция, инъекция и сюръекция - Bijection, injection and surjection”.
- “Операция (математика)”.
- “Linear map”.
- “Обыкновенное дифференциальное уравнение”.
- “Неевклидова геометрия”.
- “Анализ Фурье”.
- “Многообразие”.
MOOCs - Massive Open Online Courses, массовые открытые онлайн-курсы
PhD - Philosophiæ Doctor (латинский), доктор философии, соответствует российской (советской) ученой степени кандидата наук
ОДУ - обыкновенные дифференциальные уравнения
Уважаемый читатель!
По ряду, независящих от меня, причин вынужден прекратить сотрудничество с ресурсом Rusforexclub. Мы вместе почти четыре года - с начала апреля 2018-го. Немалый срок. Надеюсь, был полезен, актуален, точен, а главное - не скучен. Благодарю тех, у кого хватало терпение дочитывать статьи до конца. Иногда они были весьма обширными. Кто захочет знакомиться с моими материалами и далее, адресую к четырем блогам, обозначенным здесь. Думаю, время от времени, публиковать в них что-то новое (в ближайших планах - статья о Чарли Мангере) или выкладывать тексты, размещенные ранее на других сайтах. Общаться можно через комментарии к блогам.
Желаю всем удачи, трейдерского везения и хороших доходов. Когда будет трудно, вспоминайте Конфуция: “Не тот велик, кто никогда не падал, а тот велик - кто падал и вставал!“
Искренне Ваш Владимир Наливайский, 21.04.2022.