Базовые понятия математического анализа - функция и способы ее задания, приращение функции и аргумента, производная и пр. Математика проиллюстрирована на актуальных котировочных кривых финансовых инструментов. Для широкого круга читателей.
Содержание:
- Введение
- Математический анализ и его место в математике
- Функция и способы ее задания
- Приращение, производная и дифференциал
- Геометрический смысл производной
- Возрастание и убывание функции
- Экстремумы
- Заключение
- Примечания
- Список источников
- Список формул
- Используемые сокращения
В категории Финансовая математика сайта Rusforexclub освещались самые разные разделы математики. Фундаментальной и прикладной. Максимально популярно, просто и доступно.
Теория вероятностей и математическая статистика. Матмоделирование и временные ряды. Частные производные, дифференциальные уравнения и линейная алгебра. Плюс то, что имеет непосредственное отношение к программированию. Знания, без которых хоть сколько-нибудь осознанные занятия алгоритмическим трейдингом бессмысленны.
Цепкий взгляд заметит некую эклектичность, мозаичность в подаче математического материала. Тут - диффуравнения, а там - метод наименьших квадратов. Здесь - плотность вероятности и нормальное распределение, рядом - вектора и матрицы.
К сожалению, в рамках отдельной рубрики отдельного сайта трудно (скорей всего, невозможно) выстроить стройный (и законченный) курс высшей математики. Ничто не заменит ВУЗ с более или менее полным объемом преподавания “царицы наук” - мехмат или физфак университета, педагогический или технический институты.
Цель, преследуемая автором в предложенной статье - добавить важный, пропущенный паззл в математический контент от Rusforexclub. Кирпичик в самое основание.
Речь пойдет о некоторых вводных аспектах начал математического анализа - главного матпредмета первых двух студенческих лет.
Что такое матанализ? Функция, приращение и дифференциал, производная первых и высших порядков, возрастание/убывание функции и ее экстремумы. “Скучный” математический контекст будет оживлен биржевыми примерами и графиками.
Математический анализ и его место в математике
Строгого и жесткого определения термина “математический анализ”, пожалуй, не существует.
Википедия трактует его, как “совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием “анализ бесконечно малых”, объединяющий дифференциальное и интегральное исчисления”.
“Свободная энциклопедия” называет математический анализ, изучаемый в ВУЗах, “классическим математическим анализом”, подчеркивая его отличие от более общего явления в математике - “современного анализа” или просто “анализа”. Классический математический анализ - истоки и составная часть современного анализа, включающего вариационное исчисление, гармонический и функциональный анализ, теорию функций вещественной и комплексной переменной и др.
Анализ - одно из трех ключевых направлений в математике, наряду с алгеброй и геометрией. В англоязычной литературе принято название Calculus (исчисление).
Советский математик, профессор МГУ Марк Выгодский (1898-1965) толкует математический анализ с точки зрения переменных величин и функции. Он говорит, что предмет математического анализа - “количественные соотношения действительного мира”. Если арифметика и алгебра изучают преимущественно постоянные величины, характеризующие состояния, то математический анализ - величины переменные, ответственные за процессы.
Зависимости между переменными оформляются функциями.
Величина y называется функцией переменной величины x, если каждому из тех значений, которое может принимать x, соответствует одно или несколько значений y.
Переменная x именуется аргументом функции y; а x и y - также независимой и зависимой переменными соответственно. Часто вместо y пишут y(x) или f(x), имея в виду зависимость функции y(x)=f(x) от аргумента x.
Существуют три канонических способа задания функции:
- Аналитический.
- Графический.
- Табличный (числовой).
Под аналитическим понимается запись функции (зависимости) в виде формулы или, как дополняет Википедия, посредством “стандартных обозначений”.
Пример - линейная зависимость:
y=kx+b (формула 1)
где: k и b - константы, k - угловой коэффициент, b - свободный член.
Графический способ отображает связь переменных с помощью графика. По оси абсцисс откладывается аргумент x, по оси ординат - функция y.
Линейная зависимость - прямая линия; возьмем, предположим y=2x+3:
(интервал -5<x<5)
Табличный способ сопоставляет аргумент и функцию через таблицу чисел. Для линейной функции из примера выше на той же области изменения аргумента:
На финансовых рынках в роли аргумента выступает время t, а функции - цена акции, облигации, дериватива и прочего актива, назовем ее p (price).
Увы, функций p(t) в “рафинированном” аналитическом виде “в природе” нет.
Если знать цену на каждый момент времени в будущем путем тривиальной подстановки аргумента в формулу… Фондовых и прочих рынков не существовало бы вовсе. Здесь возможны лишь попытки подборов, приближений на основании исторических цен. Насколько они бывают точны - большой вопрос. Рынками движет далеко не только математика, пусть и вероятно-статистическая.
Остаются таблица и график. Таблицы обычно принимает вид временных рядов (Time Series).
Ниже приводится таблица значений S&P 500 за 12 торговых сессий второй половины июня 2021 года - 15.07-30.07 включительно.
Yahoo.Finance
Аргумент - дата. Для формализации ее можно отсчитывать, допустим, как номер торгового дня от начала 2021 года, от начала второго квартала или месяца (июля). Тут уж зависит от вашего подхода. В последнем случае 15.07 отвечает t=10, 16.07 - t=11 и т.д.
Функция - цена. Как правило, на конец дня (Close). Когда-то, в начале прошлого века, все записывалось и передавалось на узкой телеграфной ленте.
Как работать с базами данных по ценам смотрите здесь.
Наконец - графика. Биржевая классика. Объект самого пристального внимания крупного профессионального инвестора, технического аналитика и простого обывателя, вложившего в акции сотню-другую долларов. Тут нечего пояснять.
Вышеуказанные котировки укладываются в следующую диаграмму по S&P 500:
Yahoo.Finance
Приращение, производная и дифференциал
Если переменная z принимает сначала значение z=z1, а затем z=z2, то разность z2-z1 называется приращением величины z. Оно может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Для обозначения приращения принято использовать греческую букву Δ.
Δz=z2-z1 (формула 2)
Ранее упоминалось, что классический матанализ известен также, как анализ бесконечно малых. Термин “бесконечно малая величина” применяется здесь, прежде всего, именно к приращениям, как функции y, так и аргумента x.
Из бесконечно малых приращений аргумента и функции следует одно из центральных понятий математического анализа - производная функции.
Производной функции именуется предел к которому стремится отношение бесконечно малого приращения функции к соответствующему бесконечно малому приращению аргумента. Обозначается через y’(x)=f’(x).
(формула 3)
Тема производной возникла из решения двух интересных задач. Первая - нахождение касательной к любой линии. Вторая - определение скорости при произвольном законе движения.
Скорость вычисляется следующим образом[7]:
(формула 4)
где: s(t) - функция пройденного телом пути (расстояния) от времени;
Δs=s(t+Δt)-s(t) - приращение Δs на приращении Δt.
Исходя из “скоростной” трактовки можно заключить, что производная функции - скорость ее изменения по аргументу.
В дифференциальном исчислении принято записывать и считать (брать) производные, используя дифференциал.
Если разложить приращение функции Δy на два слагаемых:
(формула 5)
первое из которых пропорционально приращению аргумента Δx в первой степени, а второе (α) отвечает за Δx в степени 2 и более, то первое слагаемое и есть дифференциал функции y(x): dy(x). Для аргумента x: dx=Δx.
В матанализе доказывается теорема, что:
y’(x)=dy(x)/dx (формула 6)
Геометрический смысл производной
Прежде чем проиллюстрировать, как производные позволяют взглянуть на графики, в том числе и биржевые, выясним (или вспомним) геометрический смысл производной.
Если линия L - график функции y=f(x), то угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в соответствующей точке.
На рисунке ММ’ - секущая, проведенная через точки линии L с абсциссами P и P’. Разница между ординатами М’ и М - Δy, между абсциссами P’ и P - Δx. Отношение Δy/Δx - угловой коэффициент (тангенс угла наклона) прямой ММ’ с положительным направлением оси OX. При стремлении М’ к М (Δy и Δx стремятся к нулю), секущая ММ’ переходит в касательную[1] T с угловым коэффициентом f’(x)=dy(x)/dx.
Из школьного курса тригонометрии помним, что тангенс может изменяться от 0 для угла в 0 градусов (радиан) до плюс/минус бесконечности для углов +/-90 градусов (+/-π/2 радиан)[2].
Вот теперь обратимся к реальным графикам финансовых инструментов.
Выберем одну из базовых бумаг в индексном инвестировании - акции ETF SPDR S&P 500 (тикер SPY).
Ниже приведена кривая SPY с февраля 2019 г. по настоящее время в недельной развертке. Источник - Finviz.
Выделим три периода.
1. Февраль 2019 - 19 февраля 2020.
Предковидный интервал. За год SPY прибавили около $80 (с $260 до $340) или 80/260=30,8%. До октября 2020 г. темп роста был относительно невелик, далее он несколько усилился. Если отвлечься от небольших локальных коррекций, производная функции p(t), где p - цена акции SPY, в целом (в среднем), всюду положительна, средний угол наклона тренда, приближенного прямой линией (на глаз), менее 45 градусов.
Производная p’(t) в точке на один из дней октября представлена касательной с углом 1 наклона с оси t.
19.02.2020 рынок (S&P 500) достигает (на тот момент) абсолютного максимума. Угол наклона касательной[3] графика, а значит и p’(t) падает до нуля - точка 2.
2. 19 февраля - 23 марта 2020 г.
“Ковидный” обвал. Падение фондового рынка США на протяжении 22 торговых сессий.
График резко обрывается вниз. Углы наклона касательных стремятся к 90 градусам со стороны 90+. Производная демонстрирует огромные отрицательные величины[4]. Смотрите красную касательную с углом наклона 3.
23 марта SPY нащупывает дно на уровне примерно $220. Падение $120 относительно верхушки 19 февраля или (340-220)/340=35%. Минимуму отвечает точка 4 с нулевой[3] производной.
3. С 23.03.2020 г. по настоящее время.
Отскок с большими положительными производными. Здесь углы наклона касательных к ценовой кривой также близки к 90 градусам, но уже со стороны меньших значений, смотрите касательную с углом наклона 5.
Далее - устойчивый бычий рынок с короткими периодами коррекций цен. Начиная с апреля-мая прошлого года рынок (и SPY) лег на почти линейный рост, прибавив за 15-16 месяцев приблизительно (440-280)/280=57%.
Зеленые касательные с углами наклона 6, 7 и 8. отражают стабильно положительную производную p’(t) с сравнительно устойчивыми средними показателями.
Возрастание и убывание функции
Опустим строгие математические определения возрастания/убывания функции. Интуитивно все ясно, как для табличного способа задания, так и для графического. Нас интересуют признаки этих процессов с точки зрения дифференциального исчисления.
Достаточный признак возрастания/убывания функции.
Если производная y’(x) положительная в точке x=a, то функция y(x) возрастает в этой точке, если отрицательна, то убывает.
При возрастании функции - угол наклона касательной с осью абсцисс на интервале роста находится от 0 до 90 градусов и его тангенс положителен. При убывании - от 90 до 180 градусов с отрицательным значением тангенса.
Вновь обратимся к исследуемому графику SPY.
В точках 1, 5, 6, 7 и 8 - производная p’(t)>0 и функция растет. В точке 3 p’(t)<0, функция убывает.
Что же происходит в точках 2 и 4? Любой скажет - фиксируются локальные максимум и минимум. Формализуем высказывание языком математического анализа.
Функция y(x) имеет максимум/минимум в точке x=a, если значение y(a) больше/меньше всех соседних значений[5].
Общее наименование максимумов и минимумов - экстремумы.
Таким образом, в точках 2 и 4 кривой SPY - ее ключевые рыночные экстремумы. В точке 2 - максимум p(t), в точке 4 - минимум.
Необходимое условие максимума или минимума.
Если функция y(x) имеет экстремум в точке x=a, то в этой точке производная либо равна 0, либо бесконечна, либо не существует.
Что и выполняется в точках 2 и 4, а также во всех иных локальных (промежуточных) экстремумах. Причем, здесь даже не надо ничего сглаживать. В реальности, все (или почти все) максимумы и минимумы имеют ломаный вид на кривой, и в этих точках производная, как правило отсутствует.
Необходимое условие экстремумов выписали, но оно не является достаточным. Другими словами, могут быть случаи нулевых производных и не в точках максимумов и минимумов.
Нужно достаточное условие. Обычно рассматривают два. Первое связано с изменением знака производной при переходе через точку, в которой она равна нулю. Второе использует понятие второй производной, а иногда и производной более высокого порядка.
Вторая производная - производная от первой производной:
y’’(x)=[y’(x)]’ (формула 7)
Третья производная - производная от второй производной:
y’’’(x)=[y’’(x)]’ (формула 8)
и т.д.
Достаточное условие максимума или минимума.
Пусть в точке x=a первая производная y’(x) обращается в 0; если при этом вторая производная y’’(a)<0, то функция y(x) имеет в точке a максимум, если y’’(a)>0, то - минимум[6].
Исходя из достаточного условия экстремума, получаем в точке 2 - p’’(t)<0, а в точке 4 - p’’(t)>0.
Для читателя, добравшегося до самого конца, следует еще раз подчеркнуть, что замысел данного материала никоим образом не относится к построению инвестиционных стратегий или наработке торговых подходов.
Отнюдь.
Надеюсь, он не слишком разочаруется и не пожалеет о потраченном времени.
Задача - показать, как важны знания полученные нами много (или не очень много) лет назад на лекциях по математическому анализу, который мы в МИФИ называли “Матан”. Они отлично работают не только в фундаментальной науке и инженерном деле, но и в таком, казалось бы, далеком от физики (а я изучал физику) трейдинге ценными бумагами, деривативами или форексными парами.
Те же, кому не повезло (в кавычках или без) забивать мозги интегралами и комплексными числами в 18-20 лет, но кто хочет достичь результата в инвестировании, должен-таки понимать математику. Без нее, ну никак. Даже в традиционном варианте торговли, не говоря уже об алготрейдинге.
Понимать с азов. С начал классического математического анализа.
Взглянуть на казалось бы очевидные вещи - рост/падение акций, локальные максимумы/минимумы, биржевые ралли и крахи с точки зрения приращений функций и аргумента, производной и дифференциала, необходимого и достаточного условия экстремума.
Взглянуть со стороны, глазами математика.
Взгляд со стороны - полезная штука. Часто кое-что видится иначе.
В этом - суть усилий автора текста.
Математическая основа изложения - материал “Справочника по высшей математике” М.Я. Выгодского, Москва, АСТ, Астрель, 2006.
При подготовке материала использовалась информация Yahoo.Finance и Finviz.com
- Касательная (исходя из приведенного рисунка) - “геометрический предел” секущей при приближении точки M’ к M будь то справа или слева.
- И далее, с учетом периодичности тангенса (период πn, где n - целое число).
- Здесь и далее при анализе графиков автор мысленно скругляет ломаные линии (там, где не существует единой касательной, а значит и производной) для упрощения изложения. На суть понятий максимум/минимум, рост/падение это не влияет.
- Напомним, что tg(x)=sin(x)/cos(x). Для углов во второй четверти (90+ градусов) синус положителен, косинус отрицателен.
- Под соседними значениями точки x=a понимают значения, находящиеся в “достаточной близости” от этой точки.
- Случай, когда и вторая производная (а возможно и производные более высоких порядков) обращается в 0 здесь рассматривать не будем.
- В данном случае, скорость рассматривается, как скалярная величина.
Список источников (Википедия/Wikipedia, если не оговорено иное)
- “Математический анализ”.
- “Анализ (раздел математики)”.
- “Выгодский, Марк Яковлевич”.
- “Числовая функция”.
формула 1 - линейная функция
формула 2 - приращение
формула 3 - производная
формула 4 - скорость
формула 5 - введение дифференциала
формула 6 - производная через дифференциалы
формула 7 - вторая производная
формула 8 - третья производная
ETF - Exchange Traded Fund, биржевой инвестиционный фонд