Понятие, экономический смысл и принципы расчета показателей эффективности (соотношения доходность/риск) инвестиционного портфеля - коэффициентов Шарпа, Сортино и Трейнора. Их сравнительная характеристика. Проиллюстрировано на динамике конкретных акций по итогам 2020 года.
Содержание:
Компания с максимальной рыночной капитализацией (AAPL)
Компания с максимальным ростом акций (BTBT)
1. Коэффициент Шарпа (Sharpe ratio)
2. Пример расчета коэффициента Шарпа
3. Коэффициент Сортино (Sortino Ratio)
3.2. Экономический смысл и особенности расчета
4. Пример расчета коэффициента Сортино
5. Коэффициент Трейнора (Treynor Ratio)
5.2. Экономический смысл и ограничения в применении с19
6. Пример расчета коэффициента Трейнора
Достижение требуемой доходности инвестпортфеля при меньшем уровне риска - одна из важнейших составляющих мастерства трейдера. Для оценки действенности таких усилий разработан ряд факторов, ключевыми из которых являются коэффициенты Шарпа, Трейнора и Сортино. Их применение позволяет сравнить профессионализм управляющих активами, а также проанализировать отдельные инструменты в разрезе “доходность/риск”.
Для лучшего уяснения того, что представляют собой упомянутые показатели, как их посчитать и “пощупать”, используем их в исследовании акций, лидеров двух рейтингов 2020 года.
(По информации Finviz на 04.01.2021)
Компания с максимальной рыночной капитализацией (AAPL)
Первая пятерка акций[1]:
(Finviz)
№ 1 - Apple (увы покойного) Стива Джобса. Капитализация $2,273 трлн. Отрыв от второго номера списка Microsoft Corporation - в 1,36 раза. 28,5 % от общей капитализации первой пятерки.
Ниже - график акций Apple с середины 2018 по декабрь 2020 года:
(Finviz)
Компания с максимальным ростом акций (BTBT)
Реестр Finviz по фильтру “Perfomance +500%” по итогам 2020 года (на 04.01.21) возглавила малоизвестная фирма Bit Digital (тикер BTBT), подъем 4033%:
(Finviz)
Весьма небольшое (что ожидаемо) предприятие в области программного обеспечения (Technology / Software - Application). 63 сотрудника, капитализация $884 млн (05.01.21), выручка $13 млн.
Динамика акций BTBT с марта 2018 по декабрь 2020 г.
(Finviz)
Кстати, второй номер вышеприведенного перечня наш “летний” знакомый, производитель вакцин Novavax (NVAX), акции которого поднялись в прошлом году на волне COVID на 2383%.
1. Коэффициент Шарпа (The Sharpe Ratio)
Википедия вводит коэффициент Шарпа[2] (далее по тексту используется сокращение КШ) в качестве “показателя эффективности инвестиционного портфеля (актива), который вычисляется как отношение средней премии за риск к среднему отклонению портфеля”.
Источник дает следующее выражение для КШ (S):
формула 1
где:
R - <средняя> доходность портфеля (актива);
Rf - доходность альтернативного вложения (как правило, берется безрисковая процентная ставка;
E[R-Rf] - премия за риск (математическое ожидание превышения доходности активов над доходностью от альтернативного вложения);
- стандартное (среднеквадратичное) отклонение (СКО) избыточной доходности [R-Rf] портфеля (актива). Var=D - дисперсия (формула 1-1).
[Далее по тексту вместо символа f используем принятый в литературе для обозначения безрисковых инвестиций символ j (Rf=Rj - безрисковая ставка)]
В случае, когда Rj - константа на рассматриваемом периоде, Var[R-Rj]=Var[R].
КШ рассчитывается как для прогнозных значений, так и для анализа прошлых результатов. Для первого случая берется формула 1, применяющая матожидание, для второго подойдет более простая формула 2:
формула 2 (IG.com)
Здесь все достаточно прозрачно без дополнительных разъяснений. Можно и не вводить дополнительное соотношение, а ограничиться формулой 1, убрав запись математического ожидания E[...].
Из формул понятно, что КШ имеет безразмерный характер и представляется в виде некоторого числа N или в процентах (N*100).
Коэффициент назван в честь его автора Уильяма Ф. Шарпа, лауреата Нобелевской премии по экономике 1990 г.
Что заключено в коэффициенте Шарпа? Каков его экономический или, если хотите, инвестиционно-экономический смысл?
Исходя из формул 1 и 2 напрашивается элементарная математическая интерпретация:
КШ - избыточная доходность инструмента/портфеля (превышение над безрисковой ставкой) на единицу риска.
Под риском (волатильностью) актива в инвестициях понимается его среднеквадратичное (стандартное) отклонение, приведенное к квадратному корню из временного периода.
Чем выше доходность портфеля и ниже его риск (СКО), тем выше КШ и наоборот. При стремлении риска к бесконечности, КШ ⇾ 0. При одинаковых доходностях портфелей, КШ выше там, где ниже принимаемый трейдером риск.
КШ<0, если доходность инвестиций ниже безрисковой ставки: R<Rj. Очевидно, в таком случае лучше ничего не изобретать, а вкладывать деньги в госбумаги или размещать на банковский депозит.
Чем выше коэффициент Шарпа, тем лучше (прибыльнее и стабильнее) работает инвестор. Отдача выше (по крайней мере, не ниже), а испытываемые риски меньше. Хорошим считается КШ>1 - избыточная доходность перекрывает разброс/отклонение по портфелю/активу.
Введение в портфель актива с низкой степенью корреляции относительно других его составляющих (диверсификация), снижает общий риск портфеля без ущерба для его доходности, и приводит к повышению коэффициента Шарпа. Обычно не рекомендуется пополнять набор инвестиций инструментом, понижающим КШ.
Слабые стороны КШ заключены в использовании им стандартного отклонения, как “генеральной” меры инвестиционного риска.
Во-первых, поведение доходности финансового актива, по мнению сторонников гипотез случайного блуждания и эффективного рынка не укладывается на 100% в рамки традиционных теории вероятности и математической статистики с их атрибутами: плотностью вероятности, дисперсией, СКО, корреляцией и пр.
Нормальное распределение прекрасно описывает картинку азартной игры. Но “Бог не играет в кости”. Крылатое выражение, приписываемое Альберту Эйнштейну в отношении квантовой механики, работает (должно работать?) и на фондовом рынке.
Применение стандартного отклонения учитывает выбросы доходности в “обе стороны”, как ниже, так и выше, некоего уровня - среднего значения или безрисковой ставки. Вряд ли инвестора будут сильно беспокоить случаи превышения над средней или “нулевой” планкой. Другое дело - скачки вниз. Подобный минус коэффициента Шарпа в известной степени устраняет коэффициент Сортино, оперирующий с “волатильностью вниз” (см. ниже).
Во-вторых, величины КШ могут существенно отличаться, в зависимости от выбранных таймфреймов. Усреднение по году будет давать меньшую волатильность, чем по месяцу, а по месяцу меньше, чем внутри дня. Таким образом, большие периоды будут генерировать лучшие коэффициенты Шарпа для одного и того же инструмента..
Правды ради, надо отметить, что данный момент касается почти любого технического показателя. Сравнение активов по тому или иному признаку (и КШ - не исключение) всегда следует проводить на одинаковых (сопоставимых) периодах. Совершенно недостаточно, если управляющий инвестфондом скажет: “Коэффициент Шарпа по моим портфелям устойчиво выше 1”. За какой интервал времени? Это важно.
2. Пример расчета коэффициента Шарпа
От теории переходим к практике. Сделаем попытку оценки коэффициента Шарпа для представленных выше акций Apple (AAPL) и Bit Digital (BTBT).
Период анализа: 29.02-31.12.2020 г. - одиннадцать котировок[3] по закрытию каждого месяца (последнего торгового дня месяца) с февраля по декабрь прошлого года включительно.
Доходность акции R по месяцу n (Rn):
Rn=(Pn-Pn-1)/Pn*100 (в %)
формула 3
где:
n - номера месяцев, пробегают целые числа от 3 до 12;
Pn - котировка акции на закрытии n-го месяца.
Безрисковая ставка Rj принимается равной средней доходности американских десятилетних облигаций (нот, Treasury note) - 10-Year Treasury в 2020 году, приведенная к одному месяцу (годовая ставка делится на 12): Rj=0,89/12=0,0742% в месяц[4].
Результаты по коэффициенту Шарпа для акций BTBT представлены в Таблице 1:
Порядок заполнения таблицы изложен в комментариях к ней.
Столбец 1 - месяцы 2020 года, по которым снималась информация для исследования.
Столбец 2 - котировка акции на закрытии n-го месяца - Pn в долларах.
Столбец 3 - месячная доходность (в %) акции Rn, вычисленная по формуле 3, и уменьшенная на безрисковую ставку Rj=0,0742%.
Столбец 4 - среднее арифметическое месячных доходностей из столбца 3 минус, опять же, Rj=0,0742%. Можно посчитать самостоятельно, сложив все десять чисел из третьего столбца и поделить сумму на 10. А можно применить статистическую функцию СРЗНАЧ из Google Таблиц. Имеем числитель для формулы КШ - 74,213%.
Столбец 5 - стандартное отклонение по доходностям столбца 3. Считать его вручную совсем грустно. Задействуем очередную статфункцию Google Таблиц - СТАНДОТКЛОН. Оставим за скобками вопрос, как именно считаем - по выборке или генеральной совокупности[5]. Здесь это не существенно. Получаем знаменатель для КШ - 102,828%.
Столбец 6 - искомый коэффициент Шарпа, частное от деления значения из столбца 4 на значение столбца 5 - 0,722<1 (отклонение доходности BTBT превышает ее среднюю величину).
Составим аналогичную таблицу - Таблицу 2 для акций Apple (AAPL):
Текстовые комментарии к Таблице 2 полностью идентичны пояснениям к таблице 1.
По числам:
Столбец 4 - среднее арифметическое месячных доходностей из столбца 3 минус Rj, числитель для формулы КШ - 7,343%.
Столбец 5 - стандартное отклонение по доходностям столбца 3, знаменатель для КШ - 11,122%. Здесь также отклонение доходности превышает ее среднее.
Столбец 6 - коэффициент Шарпа, частное от деления значения из столбца 4 на значение столбца 5 - 0,660.
Краткий вывод.
Несмотря на кажущееся резкое различие в динамике акций AAPL и BTBT - более или менее плавный рост Apple и одинокая декабрьская свеча по Bit Digital, коэффициенты Шарпа по ним примерно одинаковы: 0,66 и 0,722 соответственно. Разброс менее 10% в пользу BTBT.
3. Коэффициент Сортино (Sortino Ratio)
За формальной трактовкой термина вновь обратимся к профильной статье Википедии[6].
Коэффициент Сортино (далее по тексту применяется сокращение КC):
“Показатель, позволяющий оценить доходность и риск инвестиционного инструмента, портфеля или стратегии. Коэффициент Сортино рассчитывается аналогично коэффициенту Шарпа, однако вместо волатильности портфеля используется так называемая “волатильность вниз”. В этом случае волатильность рассчитывается по доходностям ниже минимального допустимого уровня доходности портфеля”.
Формула для КС (S) от Википедии:
формула 4
где:
R - средняя доходность портфеля;
T- минимально допустимый уровень доходности портфеля (как правило, то же самое Rj, фигурирующее в формуле 1). Другие наименования - “Целевая доходность” или английское Minimum Acceptable Return (MAR).
σ - “волатильность вниз”.
“Волатильность вниз” или “стандартное отклонение вниз” (Standard deviation of the downside) - изюминка КС. Упомянутый выше материал “Свободной электронной энциклопедии” дает следующее, широко цитируемое в сети выражение:
формула 5
T - минимально допустимый уровень доходности, MAR.
Замечания по размерности КС повторяют комментарии к КШ (безразмерный, в %).
Ввел коэффициент американский экономист Фрэнк Сортино. Первое появление КС в финансовой прессе относят к 1980-81 гг.
3.2. Экономический смысл и особенности расчета
По сути, коэффициент Сортино - коэффициент Шарпа, заточенный под “плохой риск”, bad risk. Соблюдая структуру раздела об экономсмысле КШ можно сказать, что:
КС - избыточная доходность инструмента/портфеля (превышение над минимально допустимым уровнем доходности (MAR) / целевой ставкой) на единицу плохого риска или на единицу волатильности (отклонения) вниз.
Все что было сказано выше о коэффициенте Шарпа относится и к Сортино с поправкой на волатильность вниз. КС вырезает выбросы в сторону выше MAR, как ненужные. Какого инвестора будут “беспокоить” случаи опережения минимальной целевой ставки? А вот, когда ниже - другой дело. Картинка суживается и становится четче.
Требования к КС, несколько жестче, чем к КШ. Безусловно, для сколько-нибудь удовлетворительной стратегии, КС должно превышать 1. Иногда[7] говорят о минимальном КС=2, идеально КС>3.
Разберемся детальнее с практическим применением формулы 5. Ряд авторов сразу переходят от определенного интеграла с бесконечным нижним пределом к конечным суммам, считая все вполне очевидным. Тем не менее, “объяснение-подводка” не будет лишней.
Освежим геометрическую интерпретацию определенного интеграла. Согласно ей, интеграл в формуле 5 записывается таким образом:
формула 6
Здесь f(xi) - плотность вероятности, а f(xi)Δxi - вероятность достижения доходности xi. Произведение этой вероятности на квадрат отклонения xi от Т (для xi<T) и взятие суммы по всем xi ниже Т (от “минус бесконечности” до Т) рассматривается как некая “дисперсия[8] вниз” по массиву xi. Взяв из нее квадратный корень (возведя в степень 1/2) получаем “СКО, волатильность вниз”. Кавычки уместны, так как разности берутся не от матожиданий (средних величин), а от целевой ставки (MAR).
Дав подобное толкование интеграла из формулы 5 можно легко перейти к традиционным выражениям для вычисления стандартного отклонения[9].
Важный момент, на который обращают внимание для КС. Знаменатель n (n-1) в соотношениях для волатильности должен учитывать всю шкалу доходностей инструмента/портфеля, а не только те позиции, где она ниже MAR. У нас по BTBT и AAPL всегда n=10.
Еще одна интересная математическая деталь коэффициента Сортино. Если нет ни одного падения доходности портфеля/бумаги ниже MAR, то КС=∞ (нулевой знаменатель). На практике, для инвестиций, дающих отдачу выше MAR, КС не нужен, применяются коэффициенты Шарпа или Трейнора (см. ниже).
4. Пример расчета коэффициента Сортино
Преамбула, в целом, та же, что и для коэффициента Шарпа.
Пробежимся по ключевым моментам.
Акции Apple (AAPL) и Bit Digital (BTBT). Период анализа тот же 29.02-31.12.2020 г. Для доходностей бумаг Rn работает та же формула 3.
В качестве минимально допустимого уровня доходности (MAR) / целевой ставки для выборки по волатильности вниз принимаем ту же Rj=0,89/12=0,0742% в месяц (10-Year Treasury).
Структура таблиц с данными по КС повторяет матрицу для КШ с необходимыми дополнениями.
Комментарии к Таблице 3:
Столбцы 1-4 - идентичны тем же столбцам Таблицы 1, включая числовую информацию.
Столбец 5 - в ячейках проставляется месячная ставка MAR=0,0742%.
Столбец 6 - разница между MAR (столбец 5) и месячной доходностью акции (столбец 3), в том случае, если доходность по акции ниже MAR. В противном случае, вносится 0.
Столбец 7 - берется квадрат разницы для каждой ячейки. Ниже подбивается сумма по столбцу, еще ниже - делится на 10 (общее количество наблюдений). Получаем число 165,281. Размерность - “проценты в квадрате”.
Столбец 8 - волатильность вниз, вычисляется квадратный корень из 165,281, имеем 12,856%.
Столбец 9 - искомый коэффициент Сортино, частное от деления значения из столбца 4 на значение столбца 8 - 5,773.
Теперь Таблица 4 - коэффициент Сортино для акций Apple (AAPL):
Краткий вывод.
По архитектуре таблицы комментировать особенно нечего, все аналогично Таблице 3. Но вот результат удивляет. КС для Apple (1,683) меньше КС для Bit Digital (5,773) в 3,43(!) раза. Различие не на 10%, как по коэффициенту Шарпа (тоже, кстати в пользу BTBT), а на 243%. Вовсю дала о себе знать мощная среднемесячная доходность BTBT по 2020 году - 74% против 7% AAPL. При этом, обе акции показали одинаковое количество убыточных месяцев (по три), что уравняло вклад волатильности вниз относительно средней доходности инструмента.
5. Коэффициент Трейнора (Treynor Ratio)
Замыкает тройку показателей “доходность/риск” коэффициент Трейнора (далее по тексту используется сокращение КТ), соотносящий доходность инструмента/портфеля с систематическим риском - бета-коэффициентом.
“Коэффициент Трейнора - отношение средней доходности, превышающей безрисковую процентную ставку, к систематическому риску β”.
(Википедия)
Как и по коэффициенту Шарпа имеют место две формулы.
Согласно Википедии (с матожиданием):
формула 7
КТ=(R-Rf)/β
формула 8
Символы в формулах 7 и 8 объяснены ранее по КШ. Rf=Rj - безрисковая ставка, β - бета-коэффициент.
Любопытно, что КТ, в отличие от КШ и КС приобретает размерность. В числителе формул 7 и 8 стоит доходность актива/портфеля по тому или иному таймфрейму, интервалу времени в процентах годовых, квартальных, месячных и т.д. В знаменателе - безразмерная величина β. Таким образом, размерность коэффициента Трейнора это размерность числителя - годовые, квартальные, месячные и прочие проценты.
КТ был разработан американцем Джеком Трейнором - одним из творцов модели Ценообразования капитальных активов (CAPM).
5.2. Экономический смысл и ограничения в применении
Сохраняя единообразие относительно предыдущих разделов, можно заключить, что
КТ - избыточная доходность инструмента/портфеля (превышение над безрисковой ставкой) на единицу систематического (рыночного) риска (бета-коэффициента).
Вспомним, как вводится β в формуле Шарпа (не путать с КШ!) CAPM:
Иногда вместо разности между доходностями рынка (индексом) и безрисковой ставкой фигурирует просто индекс, смотрите формулу 1 раздела “Бета-коэффициент ценной бумаги” статьи о бета-коэффициенте.
Чем круче бумага/портфель реагируют на движение индекса (чем выше ее/его β), тем ниже коэффициент Трейнора, при сопоставимых уровнях доходности. Если два инструмента демонстрируют одинаковую доходность, КТ будет выше у того, чья β будет ниже.
КТ показывает насколько эффективно инвестор способен перекрыть (компенсировать) общий рыночный, систематический риск.
Математически идеальным для КТ представляется “почти” β-нейтральный портфель. Если быть точнее, портфель, β которого стремится к нулю из положительной области (β⇁+0). Тогда КТ неограниченно растет.
Но вот нулевые и отрицательные КТ особой смысловой нагрузки не несут.
Рассмотрим возможные случаи КТ<0:
- При β >0, R<Rj: доходность актива ниже безрисковой ставки - рыночные инвестиции не имеют экономического интереса. Сюда же примыкает случай R=Rj.
- При R>Rj, β<0 - возникает более, чем экзотическая и мало реализуемая ситуация по длинным позициям в ценных бумагах.
Дополнительные ограничения на КПД коэффициента Трейнора накладывают множественные вариации методик оценки β, и, как следствие - вероятная путница в итоговых сверках.
Ключевой аспект - какой индекс выбрать в качестве Rm (формула 9)? Помимо S&P500 и промышленного Доу-Джонса (DJIA) существуют десятки, если не сотни “фондовых маяков”, компонентов линейки тех же S&P, Доу, NASDAQ, STOXX, MSCI и т.д. и т.п. + ведущие национальные индексы типа FTSE, DAX, RTS и прочие с их обширными семействами.
Нужно самым тщательным образом приводить все к некой единой базе, единообразному массиву входных данных, а главное - опираться на один фондовой индекс (рыночный бенчмарк). Или, не вдаваясь в нюансы, черпать сведения строго с одного и того же источника.
6. Пример расчета коэффициента Трейнора
Торговые платформы, скринеры акций и иные специализированные инвестиционно-финансовые ресурсы часто предлагают свои варианты β. Кстати, это может касаться и обсуждаемых коэффициентов Шарпа, Сортино и Трейнора.
Бету вполне можно посчитать “вручную” через Excel или Google таблицы. Порядок представлен здесь.
Для получения β в данном материале обратимся к используемому в нем сайту Finviz.
Он не дает сколько-нибудь конкретную информацию, какую именно бету, по какому индексу, он “рисует”. В справке ресурса сказано буквально следующее: “ <Beta> - мера волатильности цены акции относительно рынка. Актив с бета-коэффициентом 0 никак не коррелирует с рынком. Положительная бета - актив обычно следует за рынком. Отрицательная бета - актив движется против рынка, снижается в цене, если рынок идет вверх и наоборот”.
Все. Хорошее описание сути β, не больше. Для сравнения коэффициентов Трейнора по двум акциям просто возьмем их беты из Finviz, без лишних вопросов.
К сожалению, Finviz не выдает β для акций BTBT. Возможно, история котировок бумаги недостаточна полна для корректного вычисления ресурсом показателя.
Заменим акции BTBT в нашем анализе на бумаги производителя вакцин - биотехнологическую компанию Novavax (NVAX). Выбор не случаен. NVAX - № 2 списка компаний, показавших максимальный рост в 2020 году - 2383%.
Динамика акций NVAX с середины 2018 по начало 2021 г.
(Finviz)
Расчет коэффициента Трейнора начнем с акций Apple, массив котировок которых уже имеется. Результат для КТ представлен в Таблице 5:
Коэффициент Трейнора (столбец 6) дается приведенным к месяцу (смотрите замечание) - 5,782%. Где взять бету (столбец 5) в Finviz понятно из скриншота ниже:
Для того чтобы выйти на нужную веб-страницу по акции (график+показатели, включая β) следует набрать ее тикер в поисковой строке в верхнем левом углу главной страницы Finviz.
Подставив в шаблон для коэффициента Трейнора котировки по акциям NVAX[3] и взяв из Finviz (смотрите предыдущий абзац) β=1,81, получим Таблицу 6 с КТ для NVAX - 18,018%:
Что называется, “пользуясь случаем”, подольем котировки NVAX в разработанные ранее шаблоны в Google таблицах, и посчитаем для Novavax коэффициент Шарпа (Таблица 7) и коэффициент Сортино (Таблица 8). Получим КШ = 0,539:
и КС=2,408:
Сведем полученные значения трех коэффициентов по трем акциям в единую Таблицу 9:
Безусловный лидер по коэффициентам Шарпа и Сортино - производитель программного обеспечения, компания Bit Digital (тикер BTBT), акции которой показали наивысший подъем в 2020 году.
По КТ отрыв не слишком велик: 9% от AAPL и 34% от NVAX. Но по коэффициенту Сортино преимущество весьма ощутимо. КС BTBT превышает КС NVAX в 2,4 раза (на 140%), а КС AAPL - в 3,4 раза (на 240%).
Надо отметить, что коэффициент Сортино NVAX превышает показатель AAPL несмотря, на то, что у биотехнологов было целых пять “отрицательных” месяцев из десяти против трех у Apple.
“Аутсайдер” обзора - крупнейшая по капитализации компания Apple. Системообразующее звено двух базовых фондовых индексов - S&P 500 и промышленного Доу-Джонса проиграло в рейтинге обоим соперникам.
Опять же по коэффициенту Шарпа немного, но по Сортино и Трейнору более, чем достаточно. Так, коэффициент Трейнора AAPL уступает КТ Novavax (NVAX) в 3,1 раза. И как замечено выше, коэффициент Сортино Apple меньше КС BTBT в 3,4 раза.
Первоисточниками определений терминов, понятий, явлений, вводимых по тексту, являются профильные статьи Википедии/Wikipedia, указанные в Списке источников к публикации (для переводов - возможны трактовки автора исходного материала), если не оговорено иное.
- Компания Alphabet представлена двумя видами акций (тикеры GOOG и GOOGL).
- Коэффициент Шарпа уже фигурировал в материалах сайта Rusforexclub, смотрите, например, раздел “Тестирование” статьи “Моделирование торговых стратегий. Часть 2 Процесс”.
- Данные Yahoo.Finance. По Apple котировки представлены с учетом выплаченных дивидендов и проведенного сплита (расщепления).
- Смотрите источник 6.
- Тонкости подхода смотрите здесь.
- Смотрите источник 7.
- Смотрите источник 11.
- Смотрите формулу 9 раздела "Дисперсия” статьи “Основы теории вероятностей для инвестора. от понятия вероятности до нормального распределения”.
- Смотрите формулы 13 и 14 раздела ”Среднеквадратичное (стандартное) отклонение” статьи “Основы теории вероятностей для инвестора. от понятия вероятности до нормального распределения”.
Список источников (Википедия/Wikipedia, если не оговорено иное)
- “Коэффициент Шарпа”.
- “The Sharpe ratio explained”, Ig.com, 17.01.2019.
- “What Is the Sharpe Ratio”, J. Fernando and A. Drury, Investopedia, 28.12.2020.
- “Коэффициент Шарпа”, Азбука трейдера (Azbukatreydera.ru).
- “United States Treasury security”.
- “10 Year Treasury Rate - 54 Year Historical Chart”, Macrotrends.net
- “Коэффициент Сортино”.
- “Sortino Ratio”, W. Kenton and M. James, Investopedia, 09.08.2020.
- “Коэффициент Сортино”, Азбука трейдера (Azbukatreydera.ru).
- “Коэффициент Сортино”, Smart-lab
- “Что такое коэффициент Сортино (Sortino ratio) и что он показывает”, А. Нагорский, Stolf.today
- “Treynor Ratio”, W. Kenton and M. James, Investopedia, 14.10.2020.
формула 1 Коэффициент Шарпа с матожиданием
формула 1-1 Стандартное отклонение для формулы 1
формула 2 Коэффициент Шарпа “простой”
формула 3 Месячная доходность акции
формула 5 Волатильность (отклонение) вниз, определенный интеграл
формула 6 Волатильность (отклонение) вниз, сумма
формула 7 Коэффициент Трейнора с матожиданием
формула 8 Коэффициент Трейнора “простой”
CAPM - Capital Asset Pricing Model
MAR - Minimum Acceptable Return
КС - коэффициент Сортино
КТ - коэффициент Трейнора
КШ - коэффициент Шарпа
СКО - среднеквадратичное (стандартное) отклонение, σ